arctanx=1/(1+x2)。arctanx是正切函數,其定義域是{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z},值域是R。arctanx是反正切函數,其定義域是R,反正切函數的值域為(-π/2,π/2)。
推導過程:
設x=tant,則t=arctanx,兩邊求微分。
dx=[(cos²t+sin²t)/(cos²x)]dt。
dx=(1/cos²t)dt。
dt/dx=cos²t。
dt/dx=1/(1+tan²t)。
因為x=tant。
所以上式t'=1/(1+x²)。
反函數求導法則:
如果函數x=f(y)x=f(y)在區間IyIy內單調、可導且f′(y)≠0f′(y)≠0,那麼它的反函數y=f−1(x)y=f−1(x)在區間Ix={x|x=f(y),y∈Iy}Ix={x|x=f(y),y∈Iy}內也可導,
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy。
這個結論可以簡單表達為:反函數的導數等於直接函數導數的倒數。
例:設x=siny,y∈[−π2,π2]x=siny,y∈[−π2,π2]為直接導數,則
y=arcsinxy=arcsinx是它的反函數,求反函數的導數。